Bài tập 9, § 6

a) Một phần tử $x$ (tương ứng, một iđêan $a$) của một vành tôpô $A$ được gọi là lũy linh tôpô nếu dãy $(x^n)_{n \geq 1}$ hội tụ về $0$ [tương ứng, nếu cơ sở lọc được tạo bởi các $a^n$ ($n \geq 1$) hội tụ về $0$]. Mọi phần tử của một iđêan lũy linh tôpô đều là lũy linh tôpô.

b) Giả sử rằng $A$ có phần tử đơn vị và rằng $A^*$ là mở trong $A$. Chứng minh rằng nếu $x$ là một phần tử lũy linh tôpô bất kỳ của $A$, thì $1 - x$ là một phần tử khả nghịch (nhận xét rằng $1 - x^n$ là một phần tử khả nghịch với $n$ đủ lớn). Từ đó chứng minh rằng nếu mọi phần tử của một iđêan $a$ (trái hoặc phải) đều là lũy linh tôpô, thì $a$ được chứa trong căn của $A$.

c) Giả sử rằng $A$ là đầy đủ và có phần tử đơn vị, và rằng tồn tại một hệ cơ sở các lân cận của $0$ là các nhóm con của nhóm cộng của $A$. Chứng minh rằng nếu $x$ là lũy linh tôpô, thì $1 - x$ là một phần tử khả nghịch trong $A$.

d) Với các giả thiết của c), chứng minh rằng nếu $y \in A$ là lũy linh tôpô, thì phương trình $x^2 + x = y$ có một nghiệm $x \in A$, và rằng $x$ là lũy linh tôpô.