Exercice 1, § 7

a) Montrer que l’anneau $\mathbf{Z}_p$ des entiers $p$-adiques (III, p. 84, exerc. 23 a)) est isomorphe à la limite projective de la suite des anneaux discrets $\mathbf{Z}/(p^n), f_{nm} : \mathbf{Z}/(p^m) \to \mathbf{Z}/(p^n)$ (pour $n \leq m$) étant l’homomorphisme canonique, lorsque $\mathbf{Z}/(p^n)$ est considéré comme anneau quotient de $\mathbf{Z}/(p^m)$.

b) Pour tout $n > 0$, soient $G_n$ le groupe $\mathbf{Z}$ des entiers rationnels, $E_n$ son groupe quotient $\mathbf{Z}/(p^n)$ ($p$ premier), $G_n$ et $E_n$ étant munis de la topologie discrète; on considère $(G_n)$ comme un système projectif, $G_m \to G_n$ étant l’identité, $(E_n)$ comme un système projectif, $f_{nm} : E_m \to E_n$ étant l’homomorphisme canonique (voir a)) pour $n \leq m$. Alors l’orbite pour $G_n$ de tout point de $E_n$ est compacte, mais l’orbite pour $G = \lim_{\leftarrow} G_n$ d’un point $x = (x_n)$ de

E = \lim_{\leftarrow} E_n n’est pas compacte, et n’est pas isomorphe à la limite projective des orbites des $x_n$, et l’application canonique $E/G \to \lim_{\leftarrow} E_n/G_n$ n’est pas injective.

c) Pour tout $n > 0$, soit $G_n$ le sous-groupe $p^n \mathbf{Z}$ de $\mathbf{Z}$ ($p$ premier), $E_n$ le groupe $\mathbf{Z}$, $G_n$ et $E_n$ étant munis de la topologie discrète et $G_n$ opérant par translations dans $E_n$; on considère $(E_n)$ et $(G_n)$ comme des systèmes projectifs, $E_m \to E_n$ étant l’identité, $G_m \to G_n$ l’injection canonique $(n \leq m)$. Alors le stabilisateur de tout point de $E_n$ (pour $G_n$) est compact, l’orbite pour $G = \lim_{\leftarrow} G_n$ de tout point de $E = \lim_{\leftarrow} E_n$ est compacte, mais l’application canonique $E/G \to \lim_{\leftarrow} E_n/G_n$ n’est pas surjective.

d) Déduire de b) et c) un exemple de système projectif d’espaces à opérateurs $(E_\alpha)$, pour un système projectif de groupes $(G_\alpha)$, tels que si l’on pose $E = \lim_{\leftarrow} E_\alpha$, $G = \lim_{\leftarrow} G_\alpha$, l’application canonique $E/G \to \lim_{\leftarrow} E_\alpha/G_\alpha$ ne soit ni injective, ni surjective.