Bài tập 1, § 7

(a) Chứng minh rằng vành $\mathbf{Z}_p$ của các số nguyên $p$-adic [§ 6, Bài tập 23 a)] là đẳng cấu với giới hạn ngược của dãy các vành rời rạc $\mathbf{Z}/(p^n)$, $f_{nm}: \mathbf{Z}/(p^m) \to \mathbf{Z}/(p^n)$ với $n \leq m$ là đồng cấu chính tắc khi $\mathbf{Z}/(p^n)$ được xem là một vành thương của $\mathbf{Z}/(p^m)$.

(b) Với mỗi số nguyên $n > 0$, cho $G_n$ là nhóm $\mathbf{Z}$ của các số nguyên hữu tỉ, và cho $X_n$ là nhóm thương của nó $\mathbf{Z}/(p^n)$ ($p$ nguyên tố), $G_n$ và $X_n$ mang tôpô rời rạc; xét $(G_n)$ như một hệ ngược, $G_m \to G_n$ là ánh xạ đồng nhất; và xét $(X_n)$ như một hệ ngược, $f_{nm}: X_m \to X_n$ là đồng cấu chính tắc (xem a) với $n \leq m$. Khi đó quỹ đạo của mỗi điểm của $X_n$ đối với $G_n$ là compact, nhưng quỹ đạo của một điểm $x = (x_n)$ của $X = \varprojlim X_n$ đối với $G = \varprojlim G_n$ không compact, và không đẳng cấu với giới hạn ngược của các quỹ đạo của các $x_n$; ngoài ra ánh xạ chính tắc $X/G \to \varprojlim X_n/G_n$ không đơn ánh.

(c) Với mỗi $n > 0$, cho $G_n$ là nhóm con $p^n\mathbf{Z}$ của $\mathbf{Z}$ ($p$ nguyên tố), và cho $X_n$ là nhóm $\mathbf{Z}$, trong đó $G_n$ và $X_n$ mang tôpô rời rạc và $G_n$ tác động bằng các phép tịnh tiến trên $X_n$. Xét $(G_n)$ và $(X_n)$ như các hệ ngược, $X_m \to X_n$ là ánh xạ đồng nhất và $G_m \to G_n$ là đơn ánh chính tắc $(n \leq m)$. Khi đó nhóm ổn định của mỗi điểm của $X_n$ (đối với $G_n$) là compact, quỹ đạo của mỗi điểm của $X = \varprojlim X_n$ đối với $G = \varprojlim G_n$ là compact, nhưng ánh xạ chính tắc $X/G = \varprojlim X_n/G_n$ không toàn ánh.

(d) Xây dựng, dùng b) và c), một ví dụ về một hệ ngược các không gian có toán tử $(X_\alpha)$ đối với một hệ ngược các nhóm $(G_\alpha)$, sao cho, nếu $X = \varprojlim X_\alpha$ và $G = \varprojlim G_\alpha$, ánh xạ chính tắc $X/G \to \varprojlim X_\alpha / G_\alpha$ không đơn ánh cũng không toàn ánh.