Exercice 2, § 7

Soit $(E_\alpha, f_{\alpha\beta})$ un système projectif d’ensembles non vides tel que $\lim_{\leftarrow} E_\alpha = \varnothing$. On désigne par $G_\alpha$ le $\mathbf{Z}$-module libre des combinaisons linéaires formelles d’éléments de $E_\alpha$, à coefficients dans $\mathbf{Z}$ (A, II, p. 25), par $g_{\alpha\beta}$ l’homomorphisme $G_\beta \to G_\alpha$ qui se réduit à $f_{\alpha\beta}$ dans $E_\beta$. Montrer que le groupe $\lim_{\leftarrow} G_\alpha$ est réduit à l’élément neutre. (Raisonner par l’absurde, en considérant pour un élément $z = (z_\alpha)$ de $\lim_{\leftarrow} G_\alpha$ et pour tout $\alpha$, l’ensemble fini $F_\alpha$ des éléments de $E_\alpha$ dont le coefficient dans $z_\alpha$ n’est pas nul, et en observant que $f_{\alpha\beta}(F_\beta) = F_\alpha$.) En déduire un exemple de système projectif $(G_\alpha, g_{\alpha\beta})$ de groupes tel que les $g_{\alpha\beta}$ soient surjectifs, les $G_\alpha$ infinis et $\lim_{\leftarrow} G_\alpha$ réduit à l’élément neutre (cf. E, III, p. 94, exerc. 4).