Bài tập 2, § 7

Cho $(X_\alpha, f_{\alpha\beta})$ là một hệ ngược các tập hợp không rỗng sao cho $\varprojlim X_\alpha = \emptyset$. Gọi $G_\alpha$ là $\mathbf{Z}$-môđun tự do của các tổ hợp tuyến tính hình thức của các phần tử của $X_\alpha$, với các hệ số trong $\mathbf{Z}$, và gọi $g_{\alpha\beta}$ là đồng cấu $G_\beta \to G_\alpha$ trùng với $f_{\alpha\beta}$ trên $X_\beta$. Chứng minh rằng nhóm $G = \varprojlim G_\alpha$ chỉ gồm phần tử đơn vị. [Lập luận bằng phản chứng: nếu $z = (z_\alpha)$ là một phần tử của $\varprojlim G_\alpha$, xét, với mỗi $\alpha$, tập hợp hữu hạn $F_\alpha$ gồm các phần tử của $X_\alpha$ có hệ số trong $z_\alpha$ khác không, và nhận xét rằng $f_{\alpha\beta}(F_\beta) = F_\alpha$.] Từ đó xây dựng một ví dụ về một hệ ngược $(G_\alpha, g_{\alpha\beta})$ của các nhóm sao cho các $g_{\alpha\beta}$ là toàn ánh, các $G_\alpha$ là vô hạn và $\varprojlim G_\alpha$ chỉ gồm phần tử đơn vị.