Exercice 3, § 1

Soient $G$ un groupe commutatif réticulé, $M$ le monoïde semi-réticulé inférieurement des ensembles majeurs de $G$ (A, VI, § 1, exerc. 30); toute partie majorée (resp. minorée) de $M$ admet une borne supérieure (resp. inférieure), et $G$ est canoniquement identifié à une partie de $M$. On désigne par $G'$ le plus grand sous-groupe de $M$ (ensemble des éléments symétrisables (A, I, p. 15) de $M$).

a) On considère sur $G$ une topologie $\mathscr{T}$ définie par le procédé de l’exerc. 2 $a$); soit $V_\alpha$ l’ensemble des couples $(z, z')$ de $M \times M$ tels que $z - c_\alpha \leq z' \leq z + c_\alpha$; montrer que les $V_\alpha$ forment un système fondamental d’entourages d’une structure uniforme $\mathfrak{U}$ sur $M$, et que la topologie $\mathscr{T}'$ déduite de $\mathfrak{U}$ induit $\mathscr{T}$ sur $G$; si $\mathscr{T}$ est séparée, $\mathfrak{U}$ est une structure uniforme séparée (remarquer qu’alors les éléments de $M$, considérés comme des parties de $G$, sont fermés); en outre, l’espace uniforme $M$ ainsi défini est alors complet. Montrer que l’application $(z, z') \mapsto z + z'$ de $M \times M$ dans $M$ est uniformément continue. Supposant $\mathscr{T}$ séparée, montrer que, dans $M$, l’ensemble des majorants (resp. des minorants) d’une partie quelconque de $M$ est fermé pour $\mathscr{T}'$ (le démontrer d’abord pour l’ensemble des majorants ou des minorants d’un élément de $M$, en considérant les éléments de $M$ comme des parties de $G$); l’application $(z, z') \mapsto \inf(z, z')$ de $M \times M$ dans $M$ est uniformément continue (même méthode).

b) On suppose désormais $\mathscr{T}$ séparée; l’adhérence $\bar{G}$ de $G$ dans $M$ est alors un groupe réticulé complet pour la topologie induite par $\mathscr{T}'$. Le groupe $G'$ est fermé dans $M$ (remarquer que son adhérence est un sous-groupe de $M$) et la topologie induite par $\mathscr{T}'$ sur $G'$ est compatible avec la structure de groupe ordonné de $G'$. Pour que $G' = \bar{G}$, il suffit que dans $G'$ tout intervalle ouvert non vide $]a, b[$ contienne un élément de $G$, ce qui a toujours lieu si $G$ est totalement ordonné. Dans ce dernier cas, la topologie induite sur $G'$ par $\mathscr{T}'$ est $\mathscr{T}_0(G')$.

c) On prend pour $G$ le groupe ordonné $\mathbf{Q}^2$ produit du groupe totalement ordonné $\mathbf{Q}$ par lui-même; alors $G' = M = \mathbf{R}^2$, muni de l’ordre produit. Montrer que sur $G$ il n’y a que trois topologies séparées non discrètes distinctes définies par le procédé de l’exerc. 2 $a$, obtenues en prenant pour ensemble des $c_\alpha$, soit l’ensemble des couples $(x, y)$ tels que $x > 0, y > 0$, soit l’ensemble des $(x, 0)$ tels que $x > 0$, soit l’ensemble des $(0, y)$ tels que $y > 0$. Pour la première de ces topologies, on a $\bar{G} = G'$ bien qu’il y ait des intervalles ouverts non vides de $G'$ ne contenant aucun élément de $G$; pour les deux autres topologies, on a $\bar{G} \neq G'$. Pour ces trois topologies, l’ensemble des éléments $z > 0$ de $G$ n’est pas ouvert.

d) On prend pour $G$ le groupe $\mathbf{Q}^2$ muni de l’ordre lexicographique (E, III, p. 23), qui en fait un groupe totalement ordonné non archimédien. On a alors $\bar{G} = G' \neq M$; $M$ est totalement ordonné mais sur $M$ la topologie $\mathscr{T}'$ est distincte de la topologie $\mathscr{T}_0(M)$; $G'$ est isomorphe au groupe $\mathbf{R} \times \mathbf{Q}$ muni de l’ordre lexicographique; dans $G'$ le sous-groupe $H = \mathbf{R} \times \{0\}$ est ouvert et isolé, (A, VI § 1, exerc. 4) mais sur le groupe quotient $G'/H$, la topologie quotient est distincte de $\mathscr{T}_0(G'/H)$.