Bài tập 3, § 1

Cho $G$ là một nhóm giao hoán có thứ tự theo dàn, và cho $M$ là nửa nhóm các tập hợp trội của $G$. Mọi tập con của $M$ bị chặn trên (tương ứng dưới) đều có một cận trên nhỏ nhất (tương ứng cận dưới lớn nhất), và $G$ có thể được đồng nhất một cách chính tắc với một tập con của $M$. Ký hiệu $G'$ là nhóm con lớn nhất của $M$ (tập hợp tất cả các phần tử đối xứng được của $M$).

a) Xét một tôpô $\mathfrak{T}$ trên $G$ được xác định bởi quá trình của Bài tập 2 a); cho $V_\alpha$ là tập hợp tất cả các cặp $(z, z')$ trong $M \times M$ sao cho

chứng minh rằng các $V_\alpha$ tạo thành một hệ cơ sở của các lân cận của một đều $\mathfrak{U}$ trên $M$, và rằng tôpô $\mathfrak{T}'$ cảm sinh bởi $\mathfrak{U}$ cảm sinh $\mathfrak{T}$ trên $G$. Nếu $\mathfrak{T}$ là Hausdorff, thì $\mathfrak{U}$ là một đều Hausdorff (nhận xét rằng các phần tử của $M$, được xem như các tập con của $G$, khi đó là đóng), và không gian đều $M$ được xác định như vậy là đầy đủ. Chứng minh rằng ánh xạ $(z, z') \to z + z'$ từ $M \times M$ vào $M$ là liên tục đều. Giả sử rằng $\mathfrak{T}$ là Hausdorff, chứng minh rằng trong $M$ tập hợp các cận trên (tương ứng cận dưới) của bất kỳ tập con nào của $M$ là đóng đối với $\mathfrak{T}'$ (trước hết hãy chứng minh điều này cho tập hợp các cận trên hoặc cận dưới của một phần tử của $M$, bằng cách xét các phần tử của $M$ như các tập con của $D$), và rằng ánh xạ

từ $M \times M$ vào $M$ là liên tục đều (cùng phương pháp).

b) Từ nay trong bài tập này giả sử rằng $\mathfrak{T}$ là Hausdorff. Khi đó bao đóng $\overline{G}$ của $G$ trong $M$ là một nhóm có thứ tự dàn đầy đủ trong tôpô cảm sinh bởi $\mathfrak{T}'$. Nhóm $G'$ là đóng trong $M$ (lưu ý rằng bao đóng của nó là một nhóm con của $M$) và tôpô cảm sinh bởi $\mathfrak{T}'$ trên $G'$ là tương thích với cấu trúc nhóm có thứ tự của $G'$. Để $G'$ bằng $\overline{G}$, chỉ cần mọi khoảng mở không rỗng $]a, b[$ trong $G'$ chứa một phần tử của $G$, và điều này luôn đúng nếu $G$ có thứ tự tuyến tính. Trong trường hợp này tôpô cảm sinh trên $G'$ bởi $\mathfrak{T}'$ là $\mathfrak{T}_0(G')$.

c) Lấy $G$ là nhóm có thứ tự $Q^2$, tích của nhóm có thứ tự tuyến tính $Q$ với chính nó; khi đó $G' = M = R^2$ với thứ tự tích. Chứng minh rằng chỉ có ba tôpô Hausdorff không rời rạc phân biệt trên $G$ được xác định bởi thủ tục của Bài tập 2 a), và chúng thu được bằng cách lấy tập các phần tử $c_\alpha$ lần lượt là tập các cặp $(x, y)$ sao cho $x > 0$ và $y > 0$, hoặc tập các cặp $(x, 0)$ sao cho $x > 0$, hoặc tập các cặp $(0, y)$ sao cho $y > 0$. Đối với tôpô thứ nhất trong ba tôpô này ta có $\overline{G} = G'$, mặc dù có những khoảng mở không rỗng của $G'$ không chứa phần tử nào của $G$; đối với hai tôpô còn lại, ta có $\overline{G} \neq G'$. Với mỗi trong ba tôpô này, tập các phần tử $z > 0$ trong $G$ không là mở.

d) Lấy $G$ là nhóm $Q^2$ được trang bị thứ tự từ điển (Lý thuyết tập hợp, Chương III, § 2, no. 6); $G$ là một nhóm có thứ tự tuyến tính không Archimede. Khi đó $\overline{G} = G' \neq M$; $M$ có thứ tự tuyến tính nhưng tôpô $\mathfrak{T}'$ trên $M$ phân biệt với tôpô $\mathfrak{T}_0(M)$; $G'$ đẳng cấu với nhóm $R \times Q$ với thứ tự từ điển; trong $G'$ nhóm con $H = R \times \{0\}$ là mở và cô lập, nhưng trên nhóm thương $G'/H$ tôpô thương phân biệt với $\mathfrak{T}_0(G'/H)$.