Exercice 3, § 4

Soient I l’intervalle $[0, 1]$ de $\mathbf{R}$, $f$ un homéomorphisme de I sur lui-même tel que $f(0) = 0$, $f(1) = 1$. Montrer qu’il existe une application continue $g$ de $I \times I$ dans I telle que: 1° pour tout $x \in I$, $g(x, 0) = x$, $g(x, 1) = f(x)$; 2° pour tout $y \in I$, l’application partielle $x \mapsto g(x, y)$ est un homéomorphisme de I sur lui-même tel que $g(0, y) = 0$, $g(1, y) = 1$.