Bài tập 3, § 4

Cho $I$ là khoảng $[0, 1]$ của $\mathbf{R}$, và cho $f$ là một phép đồng phôi của $I$ lên chính nó sao cho $f(0) = 0$ và $f(1) = 1$. Hãy chỉ ra rằng tồn tại một ánh xạ liên tục $g$ của $I \times I$ vào $I$ sao cho: (i) với mỗi $x \in I$, $g(x, 0) = x$ và $g(x, 1) = f(x)$; (ii) với mỗi $y \in I$ ánh xạ riêng phần $x \to g(x, y)$ là một phép đồng phôi của $I$ lên chính nó sao cho $g(0, y) = 0$ và $g(1, y) = 1$.