Exercice 6, § 5

Soit $E_1$ (resp. $E_2$) un ensemble filtré par un filtre $\mathfrak{F}_1$ (resp. $\mathfrak{F}_2$), et soit $f$ une fonction numérique définie dans $E_1 \times E_2$. Montrer par un exemple que les trois nombres $\limsup_{\mathfrak{F}_1 \times \mathfrak{F}_2} f(x_1, x_2)$, $\limsup_{\mathfrak{F}_1} (\limsup_{\mathfrak{F}_2} f(x_1, x_2))$, $\limsup_{\mathfrak{F}_2} (\limsup_{\mathfrak{F}_1} f(x_1, x_2))$ sont en général distincts.