Exercice 14, § 6

Soit $f$ une application continue de $\mathbf{R}$ dans lui-même.

a) Montrer que si $f$ est uniformément continue dans $\mathbf{R}$, il existe deux nombres réels $\alpha \geq 0$, $\beta \geq 0$ tels que $|f(x)| \leq \alpha|x| + \beta$ pour tout $x \in \mathbf{R}$.

b) Montrer que si $f$ est monotone et bornée dans $\mathbf{R}$, $f$ est uniformément continue dans $\mathbf{R}$.