Exercice 15, § 6

Soient E la demi-droite d’Alexandroff (IV, p. 49, exerc. 12 b)), E' son compactifié par adjonction d’un point à l’infini $\Omega$. Montrer que pour toute application continue $f$ de E dans lui-même, ou bien on a $\lim_{x \to \Omega, x \in E} f(x) = \Omega$, ou bien il existe $z \in E$ tel que $f$ soit constante dans l’intervalle $[z, \rightarrow[$. (Montrer que si, lorsque $x$ tend vers $\Omega$, $f$ admet une valeur d’adhérence $c \in E$, on a nécessairement $\lim_{x \to \Omega, x \in E} f(x) = c$; on prouvera que $f$ ne peut avoir d’autre valeur d’adhérence dans $E'$, en utilisant le fait que toute suite croissante converge dans E. Utiliser ensuite l’exerc. 12 b) de IV, p. 49 et le fait que dans $E'$ toute intersection dénombrable de voisinages de $\Omega$ est encore un voisinage de $\Omega$.)