Bài tập 15, § 6

Cho $X$ là nửa đường thẳng Alexandroff [§ 2, Bài tập 12 b)], và cho $X'$ là phép compact hóa của nó bằng cách nối thêm một điểm ở vô cực $\omega$. Hãy chứng minh rằng, đối với mọi ánh xạ liên tục $f : X \to X$, hoặc là ta có $\lim_{x \to \omega, x \in X} f(x) = \omega$, hoặc tồn tại $z \in X$ sao cho $f$ là hằng trên khoảng $[z, \to[$. [Chứng minh rằng nếu, khi $x$ tiến tới $\omega$, $f$ có một điểm tụ $c \in X$, thì ta phải có $\lim_{x \to \omega, x \in X} = c$; chứng minh rằng $f$ không thể có điểm tụ nào khác trong $X'$, bằng cách sử dụng sự kiện rằng mọi dãy tăng đều hội tụ trong $X$. Sau đó dùng Bài tập 12 b) của § 2 và sự kiện rằng trong $X'$ mọi giao đếm được của các lân cận của $\omega$ là một lân cận của $\omega$].