Exercice 2, § 6

Soit $B$ une base de $\mathbf{R}$ considéré comme espace vectoriel sur le corps $\mathbf{Q}$ (« base de Hamel »); $B$ n’est pas dénombrable (IV, p. 47, exerc. 2). Soit $\varphi$ une bijection d’une partie $C \neq B$ de $B$ sur l’ensemble $B$. On définit une application $f$ de $\mathbf{R}$ dans lui-même en posant, pour tout $x = \sum_{\xi \in B} \lambda(\xi) \xi$ (avec $\lambda(\xi) \in \mathbf{Q}$, $\lambda(\xi) = 0$ sauf pour un nombre fini d’éléments $\xi \in B$), $f(x) = \sum_{\xi \in C} \lambda(\xi) \varphi(\xi)$. Montrer que $f(x+y) = f(x)+f(y)$ mais que pour tout $z \in \mathbf{R}, f^{-1}(z)$ est une partie partout dense de $\mathbf{R}$, ce qui entraîne que $f$ n’est majorée ni minorée dans aucun intervalle de $\mathbf{R}$.