Bài tập 2, § 6

Cho $B$ là một cơ sở của $\mathbf{R}$ được xem như một không gian vectơ trên trường $\mathbf{Q}$ ("cơ sở Hamel"). $B$ là không đếm được ($§ 2$, Bài tập 2). Cho $\varphi$ là một song ánh của một tập con $C \neq B$ của $B$ lên tập hợp $B$. Định nghĩa một ánh xạ $f$ từ $\mathbf{R}$ vào $\mathbf{R}$ như sau: nếu $x = \sum_{\xi \in B} \lambda(\xi) \xi$, trong đó $\lambda(\xi) \in \mathbf{Q}$ và $\lambda(\xi) = 0$ với mọi phần tử $\xi \in B$ trừ một số hữu hạn, thì $f(x) = \sum_{\xi \in C} \lambda(\xi) \varphi(\xi)$. Chứng minh rằng $f(x + y) = f(x) + f(y)$, nhưng với mỗi $z \in \mathbf{R}$, $f^{-1}(z)$ là một tập con trù mật của $\mathbf{R}$, điều này suy ra rằng $f$ không bị chặn trên cũng không bị chặn dưới trong bất kỳ khoảng nào của $\mathbf{R}$.