Exercice 6, § 6

Soit $f$ une fonction numérique définie dans un espace topologique $E$. On appelle oscillation de $f$ en point $a \in E$ le nombre (fini ou infini)

lorsque le second membre est défini.

a) Montrer que $x \mapsto \omega(x; f)$ est semi-continue supérieurement dans le sous-espace $A$ des points de $E$ où cette application est définie.

b) Si $f$ est finie dans $E$, on a $A = E$, et pour tout point $a \in E$

c) Soit $f$ une fonction numérique finie et semi-continue inférieurement dans $E$. Montrer que si en un point $a \in E$, $\omega(a; f)$ a une valeur finie, on a $\liminf_{x \to a} \omega(x; f) = 0$. (Raisonner par l’absurde, en montrant que, dans l’hypothèse contraire, il existerait des points $x$ arbitrairement voisins de $a$ et tels que $f(x)$ soit aussi grand qu’on veut.)

d) Pour tout nombre rationnel $r = p/q$ mis sous forme irréductible (avec $q > 0$), on pose $f(r) = q$; montrer que $f$ est semi-continue inférieurement dans $\mathbf{Q}$ mais qu’en tout point $r \in \mathbf{Q}$, on a $\omega(r; f) = +\infty$.