Bài tập 6, § 6

Cho $f$ là một hàm giá trị thực được xác định trên một không gian tôpô $X$. Số (hữu hạn hoặc vô hạn)

được gọi là dao động của $f$ tại $a \in X$, bất cứ khi nào vế phải được xác định.

a) Chứng minh rằng $x \to \omega(x; f)$ là nửa liên tục trên trên không gian con $A$ của $X$ nơi ánh xạ này được xác định.

b) Nếu $f$ là hữu hạn trên $X$, thì $A = X$ và với mỗi $a \in X$ ta có

c) Cho $f$ là một hàm giá trị thực hữu hạn nửa liên tục dưới trên $X$. Chứng minh rằng nếu, tại một điểm $a \in X$, $\omega(a; f)$ có một giá trị hữu hạn, thì

[Giả sử kết quả là sai, hãy chứng minh rằng khi đó tồn tại các điểm $x$ tùy ý gần $a$ sao cho $f(x)$ lớn tùy ý].

d) Với mỗi số hữu tỉ $r = p/q$ ở dạng bất khả quy (với $q > 0$), đặt $f(r) = q$. Chứng minh rằng $f$ là nửa liên tục dưới trên $\mathbf{Q}$, nhưng tại mỗi điểm $r \in \mathbf{Q}$ ta có $\omega(r; f) = +\infty$.