Exercice 8, § 6

Soient $E$ un espace topologique, $A$ une partie fermée de $E \times \overline{\mathbf{R}}$. Montrer que l’application $x \mapsto \inf(A(x))$ de $\mathrm{pr}_1 A$ dans $\overline{\mathbf{R}}$ est semi-continue inférieurement. Inversement, si $f : E \to \overline{\mathbf{R}}$ est une fonction semi-continue inférieurement, la partie $B$ de $E \times \overline{\mathbf{R}}$ formée des couples $(x, y)$ tels que $y \geq f(x)$ est fermée dans $E \times \overline{\mathbf{R}}$.