Bài tập 8, § 6

Cho $X$ là một không gian tôpô, và cho $A$ là một tập con đóng của $X \times \overline{\mathbf{R}}$. Chứng minh rằng ánh xạ $x \to \inf (A(x))$ của $\mathrm{pr}_1 A$ vào $\overline{\mathbf{R}}$ là nửa liên tục dưới. Ngược lại, nếu $f : X \to \overline{\mathbf{R}}$ là một hàm nửa liên tục dưới, thì tập con $B$ của $X \times \overline{\mathbf{R}}$ gồm các cặp $(x, y)$ sao cho $y \geqslant f(x)$ là đóng trong $X \times \overline{\mathbf{R}}$.