Exercice 9, § 6

a) Soient $E$ et $F$ deux espaces séparés, $\pi$ une application continue propre (I, p. 72) de $E$ dans $F$. Soit $g$ une fonction numérique semi-continue inférieurement dans $E$. Pour tout $y \in F$, soit $f(y)$ la borne inférieure de $g$ dans l’ensemble $\pi^{-1}(y)$ (borne inférieure égale à $+\infty$ si $\pi^{-1}(y) = \varnothing$). Montrer que $f$ est semi-continue inférieurement dans $E$. (Utiliser le fait que $\pi(E)$ est fermé et que pour tout $y \in \pi(E)$, $\pi^{-1}(y)$ est compact et tout voisinage de $\pi^{-1}(y)$ contient un voisinage saturé pour la relation d’équivalence $\pi(x) = \pi(x')$.)

b) Soit $g$ la fonction continue $|x_1 x_2 - 1|$ définie dans $\mathbf{R} \times ]0, +\infty[$, et pour tout $x_1 \in \mathbf{R}$ soit $f(x_1) = \inf_{x_2 > 0} g(x_1, x_2)$; montrer que $f$ n’est pas semi-continue inférieurement.