Bài tập 9, § 6

a) Cho $X$ và $Y$ là hai không gian Hausdorff và cho $\pi : X \to Y$ là một ánh xạ thực sự (Chương I, § 10, no. 1). Cho $g$ là một hàm thực nửa liên tục dưới trên $X$. Với mỗi $y \in Y$, gọi $f(y)$ là cận dưới lớn nhất của $g$ trong tập hợp $\overline{\pi}^{-1}(y)$ [do đó $f(y) = +\infty$ nếu $\overline{\pi}^{-1}(y) = \varnothing$]. Chứng minh rằng $f$ là nửa liên tục dưới trên $Y$. [Sử dụng sự kiện rằng $\pi(X)$ là đóng, rằng $\overline{\pi}^{-1}(y)$ là compact với mọi $y \in \pi(X)$, và rằng mọi lân cận của $\overline{\pi}^{-1}(y)$ chứa một lân cận bão hòa đối với quan hệ tương đương $\pi(x) = \pi(x')$.]

b) Cho $g$ là hàm liên tục $|x_1 x_2 - 1|$ xác định trên $\mathbf{R} \times ]0, +\infty[$, và với mỗi $x_1 \in \mathbf{R}$ gọi $f(x_1) = \inf_{x_2 > 0} g(x_1, x_2)$. Chứng minh rằng $f$ không nửa liên tục dưới.