Exercice 15, § 7

Soit $(u_n)$ une suite de nombres réels finis telle que $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$ et $\sum_n u_n^+ = \sum_n u_n^- = +\infty$. Si $a$ et $b$ sont deux nombres réels quelconques (finis ou non) tels que $a \leq b$, montrer qu’il existe une permutation $\sigma$ de $\mathbf{N}$ telle que, si on pose $s_n = \sum_{k=0}^n u_{\sigma(k)}$, on ait $\liminf_{n \to \infty} s_n = a$ et $\limsup_{n \to \infty} s_n = b$. Montrer que l’ensemble des valeurs d’adhérence de la suite $(s_n)$ est alors l’intervalle $[a, b]$.

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