Bài tập 15, § 7

Cho $(u_n)$ là một dãy các số thực hữu hạn sao cho $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$ và $\sum_n u_n^+ = \sum_n u_n^- = +\infty$. Nếu $a$ và $b$ là hai số thực bất kỳ (hữu hạn hoặc không) sao cho $a \leq b$, hãy chứng minh rằng tồn tại một phép hoán vị $\sigma$ của $\mathbf{N}$ sao cho, nếu đặt $s_n = \sum_{k=0}^n u_{\sigma(k)}$, ta có $\liminf_{n \to \infty} s_n = a$ và $\limsup_{n \to \infty} s_n = b$. Hãy chứng minh rằng tập hợp các điểm tụ của dãy $(s_n)$ khi đó là khoảng $[a, b]$.