Exercice 16, § 7

Soit $(u_n)$ une suite de nombres réels finis telle que la série de terme général $u_n$ soit convergente mais non absolument convergente. Montrer qu’il existe une permutation $\sigma$ de $\mathbf{N}$ satisfaisant à la condition de III, p. 79, exerc. 5 a), mais telle que la série de terme général $u_{\sigma^{-1}(n)}$ ne soit pas convergente. (Soient $h, k, m$ trois entiers ayant les propriétés suivantes : si $p_1, \ldots, p_r$ sont les entiers $n$ tels que $h \leq n < h + m$ et $u_n \geq 0$, on a $u_{p_1} + \cdots + u_{p_r} > 2$ et $h + m < k - r$; en outre quels que soient les entiers $\mu, \nu$ tels que $h + m \leq \mu \leq \nu$, on a

On pose $s = m - r$ et on désigne par $q_1, \ldots, q_s$ les entiers $n$ tels que $h \leq n < h + m$ et $u_n < 0$. Considérer la permutation $\pi$ de l’intervalle $[h, k + s]$ de $\mathbf{N}$ telle que $\pi(p_i) = k - i + 1$ pour $1 \leq i \leq r$, $\pi(q_j) = k + j$ pour $1 \leq j \leq s$, $\pi(k + j) = h + s - j$ pour $1 \leq j \leq s$, $\pi(k - i + 1) = h + s + i - 1$ pour $1 \leq i \leq r$ et enfin $\pi(n) = n$ pour $h + m \leq n \leq k - r$; montrer que l’on a