Bài tập 16, § 7

Cho $(u_n)$ là một dãy các số thực hữu hạn sao cho chuỗi mà số hạng tổng quát là $u_n$ hội tụ nhưng không hội tụ tuyệt đối. Hãy chứng minh rằng tồn tại một phép hoán vị $\sigma$ của $\mathbf{N}$ thỏa mãn điều kiện của Chương III, § 5, Bài tập 6 a) nhưng sao cho chuỗi mà số hạng tổng quát là $u_{\sigma^{-1}(n)}$ không hội tụ. [Cho $h, k, m$ là ba số nguyên có các tính chất sau : nếu $p_1, \ldots, p_r$ là các số nguyên $n$ sao cho $h \leq n < h + m$ và $u_n \geq 0$, thì $u_{p_1} + \cdots + u_{p_r} > 2$ và $h + m < k - r$; hơn nữa nếu $\mu, \nu$ là các số nguyên bất kỳ sao cho $h + m \leq \mu \leq \nu$, thì $\left| \sum_{n=\mu}^{\nu} u_n \right| \leq 1$. Đặt $s = m - r$ và gọi $q_1, \ldots, q_s$ là các số nguyên $n$ sao cho $h \leq n < h + m$ và $u_n < 0$. Xét phép hoán vị $\pi$ của khoảng $[h, k + s]$ của $\mathbf{N}$ sao cho $\pi(p_i) = k - i + 1$ với $1 \leq i \leq r$, $\pi(q_j) = k + j$ với $1 \leq j \leq s$, $\pi(k + j) = h + s - j$ với $1 \leq j \leq s$, $\pi(k - i + 1) = h + s + i - 1$ với $1 \leq i \leq r$ và cuối cùng $\pi(n) = n$ với $h + m \leq n \leq k - r$; hãy chứng minh rằng ta có