Exercice 19, § 7

Topologie générale, IV, p. 61

Soit $(1 + u_t)_{t \in I}$ une famille multipliable dans $\mathbf{R}$ . Pour toute partie non vide $H$ de $I$ , on pose $v_H = \prod_{t \in H} u_t$ . Montrer que la famille $(v_H)_{H \in \mathfrak{G}(I)}$ est sommable dans $\mathbf{R}$ et que l’on a

1 + \sum_H v_H = \prod_{t \in I} (1 + u_t).

Réciproque.

En déduire que pour $-1 < x < 1$ , $\prod_{n=0}^{\infty} (1 + x^{2^n}) = 1/(1 - x)$ .

Solution

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