Bài tập 19, § 7

Cho $(1 + u_i)_{i \in I}$ là một họ nhân được trong $\mathbf{R}$. Với mỗi tập con không rỗng $H$ của $I$, ký hiệu $v_H$ là $\prod_{i \in H} u_i$. Chứng minh rằng họ $(v_H)_{H \in \mathfrak{P}(I)}$ là tổng được trong $\mathbf{R}$ và rằng

Đảo lại có đúng không?

Suy ra rằng, nếu $-1 < x < 1$, thì $\prod_{n=0}^\infty (1 + x^{2^n}) = 1/(1 - x)$.