Exercice 8, Annexe 2

Soit $A$ une algèbre normée complète; montrer que si $(x_n)$ est une suite de points de $A$ telle que, pour toute permutation $\sigma$ de $\mathbf{N}$, la suite $(x_{\sigma(n)})$ soit multipliable et ait un produit inversible, chacun des $x_n$ est inversible (on établira d’abord le lemme d’algèbre suivant: dans un anneau ayant un élément unité, si deux éléments $x, y$ sont tels que $xy$ soit inversible, et $yx$ non diviseur de 0, chacun des éléments $x, y$ est inversible; cf. A, I, p. 152, exerc. 3).