Exercice 10, § 1

Soit X un espace uniformisable; montrer que la famille de tous les écarts sur X qui sont continus dans X × X, définit sur X une structure uniforme compatible avec la topologie de X (IX, p. 84, exerc. 3). Cette structure uniforme $\mathscr{U}_\omega$ (dite structure uniforme universelle sur X) et la plus fine de toutes les structures uniformes compatibles avec la topologie de X. Si Y est un espace uniforme, f une application continue de X dans Y, f est uniformément continue lorsqu’on munit X de sa structure universelle, et cette propriété caractérise uniquement $\mathscr{U}_\omega$ parmi toutes les structures uniformes compatibles avec la topologie de X. S’il existe une structure uniforme $\mathscr{U}$ compatible avec la topologie de X et telle que, muni de $\mathscr{U}$, X soit un espace uniforme complet, montrer que pour toute structure uniforme $\mathscr{U}'$ plus fine que $\mathscr{U}$ et moins fine que $\mathscr{U}_\omega$, l’espace X, muni de $\mathscr{U}'$, est aussi un espace complet (remarquer que les filtres de Cauchy sont les mêmes pour $\mathscr{U}$ et pour $\mathscr{U}'$).