Exercice 11, § 1

a) Soient X un espace complètement régulier, $\mathscr{U}$ une structure uniforme compatible avec la topologie de X. Soit $\mathscr{U}^*$ la structure uniforme la moins fine sur X rendant uniformément continues toutes les applications de X dans $[0,1]$ qui sont uniformément continues quand on munit X de la structure $\mathscr{U}$. Montrer que la structure uniforme $\mathscr{U}^*$ est séparée et compatible avec la topologie de X, et que X, muni de cette structure uniforme, est précompact. b) Soit Y un espace compact quelconque; montrer que toute application f de X dans Y, qui est uniformément continue lorsqu’on munit X de la structure uniforme $\mathscr{U}$, est encore uniformément continue lorsqu’on munit X de la structure $\mathscr{U}^*$ (utiliser IX, p. 9, prop. 5). En déduire que, sur X, la structure uniforme $\mathscr{U}^*$ est la plus fine des structures uniformes moins fines que $\mathscr{U}$ et pour lesquelles X est précompact.