Bài tập 11, § 1

Cho $X$ là một không gian chính quy hoàn toàn. Hai tập đóng $A, B$ trong $X$ được gọi là hoàn toàn tách biệt nếu tồn tại một ánh xạ liên tục $f$ của $X$ vào $[0, 1]$ sao cho $f(x) = 0$ trên $A$ và $f(x) = 1$ trên $B$.

a) Cho $\beta X$ là compact hóa Stone-Čech của $X$. Chứng minh rằng hai tập đóng $A$ và $B$ trong $X$ là hoàn toàn tách biệt khi và chỉ khi các bao đóng của chúng trong $\beta X$ không giao nhau [dùng các Bài tập 7 a) và 10 a)].

b) Cho $h$ là một đồng phôi của $X$ lên một tập con trù mật $X'$ của một không gian compact $K$, và cho $\overline{h}$ là ánh xạ liên tục $\beta X \to K$ mở rộng $h$. Giả sử rằng, với mỗi cặp tập con đóng hoàn toàn tách biệt $A, B$ của $X$, các bao đóng của $h(A)$ và $h(B)$ trong $K$ không giao nhau. Chứng minh rằng $\overline{h}$ là một đồng phôi của $\beta X$ lên $K$. (Chứng minh rằng $\overline{h}$ là đơn ánh: nếu $a, b$ là các điểm phân biệt của $\beta X$ sao cho $\overline{h}(a) = \overline{h}(b)$, xét một ánh xạ liên tục $f : \beta X \to [0, 1]$ sao cho $f(a) = 0, f(b) = 1$, và xét các tập $X \cap \overline{f}^{-1}[0, 1/3]$ và $X \cap \overline{f}^{-1}[2/3, 1]$.)