Exercice 16, § 1

Soit $X$ un espace complètement régulier. Montrer que, pour qu’un ensemble ouvert $U$ de $\beta X$ soit connexe, il faut et il suffit que $U \cap X$ soit connexe. (Supposant $U \cap X$ non connexe, réunion de deux ouverts disjoints non vides $V_1, V_2$ de $X$, considérer les adhérences $V_1^\beta, V_2^\beta$ de $V_1$ et $V_2$ dans $\beta X$. Montrer par l’absurde que $U \cap V_1^\beta \cap V_2^\beta = \varnothing$. Pour cela, considérer un point $a$ de cet ensemble et une application continue $f$ de $\beta X$ dans $\{0, 1\}$, égale à 0 au point $a$, à 1 dans $\beta X - U$; puis définir la fonction $g$ dans $X$ comme égale à $f(x)$ sauf aux points $x \in V_2$ tels que $f(x) \leq \frac{1}{2}$, et prendre $g(x) = \frac{1}{2}$ en ces points).