Bài tập 16, § 1

Cho $X$ là một không gian đều Hausdorff đầy đủ, và cho $\mathscr{U}$ là cấu trúc đều của $X$.

a) Cho $A$ là một tập con của $X$ là hợp của một dãy $(F_n)$ các tập đóng, và cho $x \notin A$. Chứng minh rằng tồn tại một hàm liên tục nhận giá trị thực hữu hạn $f \geq 0$ trên $X$, sao cho $f(x) = 0$ và $f(y) > 0$ với mọi $y \in A$. (Nếu $g_n$ là một ánh xạ liên tục của $X$ vào $[0, 1]$ sao cho $g_n(x) = 0$ và $g_n(y) = 1$ với mọi $y \in F_n$, xét hàm

b) Cho $h \geq 0$ là một hàm liên tục nhận giá trị thực trên $X$, và cho $V$ là tập mở $\overline{h}([0, +\infty[)$. Cho $\mathscr{U}'$ là cấu trúc đều trên $V$ là cận trên nhỏ nhất của cấu trúc đều cảm sinh bởi $\mathscr{U}$ và cấu trúc đều được xác định bởi giả mêtric

Chứng minh rằng $V$ là đầy đủ đối với $\mathscr{U}'$.

c) Cho $B$ là một tập con của $X$ là giao của một họ các tập $(A_\lambda)$, mỗi tập trong đó là hợp của một họ đếm được các tập đóng. Chứng minh rằng tồn tại một cấu trúc đều trên $B$ tương thích với tôpô cảm sinh trên $B$ bởi tôpô của $X$, và sao cho $B$ là đầy đủ đối với cấu trúc đều này [dùng b)].