Exercice 2, § 1

Soit $f$ une application de $X \times X$ dans $(0, +\infty)$; pour que la famille des ensembles $f^{-1}((0, a))$, où a parcourt l’ensemble des nombres $> 0$, constitue un système fondamental d’entourages d’une structure uniforme sur $X$, il faut et il suffit que $f$ satisfasse aux conditions suivantes : a) quel que soit $x \in X, f(x, x) = 0; b)$ quel que soit $a > 0$, il existe $b > 0$ tel que la relation $f(x, y) \leq b$ entraîne $f(y, x) \leq a; c)$ quel que soit $a > 0$, il existe $c > 0$ tel que les relations $f(x, z) \leq c$ et $f(z, y) \leq c$ entraînent $f(x, y) \leq a$.

Les conditions b) et c) sont en particulier remplies s’il existe une application $\varphi$ de $P = (0, +\infty)$ dans lui-même, continue et nulle au point 0, et une application $\psi$ de $P \times P$ dans $P$, continue et nulle au point $(0, 0)$, telles que l’on ait identiquement.