Bài tập 2, § 1

Cho $f$ là một ánh xạ từ $X \setminus X$ vào $[0, +\infty]$. Khi đó họ các tập hợp $\{f(x, x') > s\}$, trong đó $s$ chạy qua tập hợp tất cả các số thực $> 0$, tạo thành một hệ cơ sở các lân cận của một cấu trúc đều trên $X$ khi và chỉ khi $f$ thỏa mãn các điều kiện sau: i) $f(x, x) = 0$ với mọi $x \in X$; ii) với mỗi $s > 0$ tồn tại $t > 0$ sao cho quan hệ $f(x, x') \leq t$ kéo theo $f(x, x') \leq s;$ iii) với mỗi $s > 0$ tồn tại $c > 0$ sao cho các quan hệ $f(x, z) \leq c$ và $f(z, y) \leq c$ kéo theo $f(x, y) \leq a$.

Các điều kiện ii) và iii) được thỏa mãn đặc biệt nếu tồn tại một ánh xạ $\varphi$ của $I = [0, +\infty]$ lên chính nó, liên tục và bằng không tại điểm 0, và một ánh xạ $\psi$ của $I \setminus I$ vào $I$, liên tục và bằng không tại điểm $(0, 0)$, sao cho ta có đồng nhất