Exercice 20, § 1

a) Soit $X$ un espace topologique. Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes: $\alpha$ toute fonction numérique finie continue dans $X$ est bornée; $\beta$ toute fonction numérique continue et bornée dans $X$ atteint ses bornes. On dit que $X$ est un espace weierstrassien s’il possède ces propriétés. Si $X$ est weierstrassien, pour toute application continue $f$ de $X$ dans un espace topologique $Y$, le sous-espace $f(X)$ de $Y$ est weierstrassien. b) Dans un espace topologique $X$, on considère les deux propriétés suivantes: $\gamma$ pour tout recouvrement ouvert dénombrable $(U_n)$ de $X$, $X$ est réunion d’un nombre fini des $\overline{U}_n$; $\delta$ toute base de filtre dénombrable sur $X$, formée d’ensembles ouverts, admet au moins un point adhérent. Montrer que $\gamma$ et $\delta$ sont équivalentes et qu’elles entraînent que $X$ est weierstrassien. En particulier, tout espace absolument fermé (I, p. 108, exerc. 19) est weierstrassien. L’espace séparé défini dans I, p. 109, exerc. 21 c), est weierstrassien mais ne vérifie pas les propriétés $\gamma$ et $\delta$. Si $X$ possède les propriétés $\gamma$ et $\delta$, il en est de même de tout sous-espace de la forme $\overline{U}$, où $U$ est une partie ouverte de $X$ (cf. exerc. 21). Montrer que les conditions $\gamma$ et $\delta$ sont aussi équivalentes à la suivante: $\gamma'$ toute suite localement finie $(U_n)$ d’ouverts non vides deux à deux disjoints est finie. c) Dans un espace topologique $X$, on considère la propriété: $\xi$ tout recouvrement ouvert localement fini de $X$ est fini.

Montrer que $\xi$ entraîne $\gamma$. (Si $(U_n)$ est une suite croissante de parties ouvertes de $X$ formant un recouvrement de $X$ et telles que $U_{n+1} \notin \overline{U}_n$, considérer le recouvrement formé des $U_{n+1} \cap \complement \overline{U}_n$ et du complémentaire d’une suite $(a_n)$ telle que $a_{n+1} \in U_{n+1} \cap \complement \overline{U}_n$).

Si $X$ est régulier, prouver que $\gamma$ entraîne $\xi$. (Soit $(U_\alpha)$ un recouvrement ouvert infini et localement fini de $X$. Définir par récurrence une suite $(\alpha_n)$ d’indices, une suite $(x_n)$ de points de $X$ et, pour chaque $x_n$, deux voisinages ouverts $V_n, W_n$ de $x_n$ tels que: 1° on ait $\overline{V}_n \subset W_n, \overline{W}_n \subset U_{\alpha_n}$, et $W_n$ ne rencontre qu’un nombre fini d’ensembles $U_\alpha$; 2° $U_\alpha$ ne rencontre aucun des $W_k$ d’indice $k < n$. Considérer alors le recouvrement de $X$ formé des $W_n$ et du $\infty$ complémentaire de la réunion des $\overline{V}_n$.

d) Dans un espace complètement régulier $X$, montrer que les propriétés $\alpha), \beta), \gamma), \delta)$, et $\xi$ sont équivalentes, et sont équivalentes à la suivante: θ) $X$ est précompact pour toute structure uniforme compatible avec la topologie de $X$.

(Pour voir que $\alpha$ entraîne $\zeta$), remarquer que si $(U_n)$ est un recouvrement ouvert infini dénombrable et localement fini de $X$ et $a_n \in U_n$, il y a une fonction numérique $f$ continue dans $X$ et telle que $f(a_n) = n$ pour tout $n$. Pour montrer que $\theta$ entraîne $\alpha$, considérer la structure uniforme universelle sur $X$ (IX, p. 86, exerc. 10). Pour prouver que $\gamma$ entraîne $\theta$, remarquer que si $X$ n’est pas précompact pour une structure uniforme $U$, il existe un entourage symétrique $V$ pour $U$ et une suite $(x_n)$ de points de $X$ tels que les ensembles $V(x_n)$ soient deux à deux disjoints.

e) Si $X$ est un espace complètement régulier weierstrassien et tel que $X$ soit complet pour une structure uniforme compatible avec sa topologie, $X$ est compact.

f) Sur un espace complètement régulier weierstrassien $X$, la structure uniforme universelle (IX, p. 86, exerc. 10) est induite par la structure uniforme du compactifié de Stone-Čech $\beta X$, et est la seule structure uniforme rendant uniformément continues les applications continues de $X$ dans $[0, 1]$, et compatible avec la topologie de $X$.