Bài tập 20, § 1

a) Cho $X$ là một không gian chính quy hoàn toàn, và cho $a$ là một điểm của $X$. Khi đó tồn tại một hàm liên tục $f \geq 0$ trên $X$ sao cho $f(a) = 0$ và $f(x) > 0$ bất cứ khi nào $x \neq a$, khi và chỉ khi có một dãy $(V_n)$ các lân cận của $a$ trong $X$ sao cho $\bigcap_n V_n = \{a\}$ [xem Bài tập 16 a)].

b) Cho $X$ là một không gian chính quy hoàn toàn, mỗi điểm của nó có một hệ cơ bản đếm được các lân cận. Chứng minh rằng, trong compact hóa Stone-Čech $\beta X$, tập hợp $X$ bằng tập hợp các điểm có một hệ cơ bản đếm được các lân cận trong $\beta X$ [sử dụng a) và Bài tập 12]. Cho $X'$ là một không gian chính quy hoàn toàn khác, mỗi điểm của nó có một hệ cơ bản đếm được các lân cận. Chứng minh rằng nếu các compact hóa Stone-Čech $\beta X$ và $\beta X'$ là đồng phôi, thì $X$ và $X'$ là đồng phôi.