Exercice 22, § 1

a) Si un produit de deux espaces topologiques $X \times Y$ est weierstrassien, il en est de même de $X$ et $Y$. Inversement, si $X$ est weierstrassien et si $Y$ est compact, $X \times Y$ est weierstrassien (utiliser IX, p. 84, exerc. 4). (Pour un exemple de produit de deux espaces weierstrassiens qui n’est pas weierstrassien, voir IX, p. 94, exerc. 16).

b) Soient $X, Y$ deux espaces complètement réguliers tels que $X \times Y$ soit weierstrassien. Montrer que si $f$ est une fonction numérique continue dans $X \times Y$, la fonction $F(x) = \inf_{y \in Y} f(x, y)$ est continue dans $X$. (Raisonner par l’absurde en supposant que pour un $\varepsilon > 0$ il existe un $x_0 \in X$ tel que, dans tout voisinage $U$ de $x_0$, il existe $x$ tel que

Construire alors par récurrence une suite de points $(x_n, y_n)$ de $X \times Y$, une suite de voisinages $(U'_n \times V_n)$ de $(x_0, y_n)$ et une suite de voisinages $(U_n \times V_n)$ de $(x_n, y_n)$ avec $U_n \subset U'_{n-1}$, de sorte que l’oscillation de $f$ dans chacun de ces ensembles soit $\leq \varepsilon$, et en déduire une contradiction en utilisant la condition $\delta)$ de l’exerc. 20 (IX, p. 88)).

c) Sous les mêmes hypothèses que dans b), on suppose que $Y$ est un sous-espace partout dense d’un espace compact $K$ et que $f$ est une fonction numérique continue dans $X \times Y$ et telle que, pour tout $x \in X$, la fonction $y \mapsto f(x, y)$ se prolonge en une fonction $z \mapsto g(x, z)$ continue dans $K$. Montrer que la fonction $(x, z) \mapsto g(x, z)$ est alors continue dans $X \times K$ (utiliser b) et le fait que, si $z_0 \in K$ et si $V$ est un voisinage ouvert de $z_0$ dans $K$, le sous-espace $X \times (V \cap Y)$ de $X \times Y$ est weierstrassien.)

d) Soient $X, Y$ deux espaces complètement réguliers infinis tels que $X \times Y$ ne soit pas weierstrassien. Montrer qu’il existe deux suites infinies $(U_n), (V_n)$ d’ouverts non vides dans $X, Y$ respectivement, deux à deux disjoints, telles que la suite $(U_n \times V_n)$ soit localement finie. (Se ramener au cas où $X$ et $Y$ sont weierstrassiens et utiliser le critère $\gamma'$) : partir d’une suite $(U'_n \times V'_n)$ d’ouverts non vides deux à deux disjoints dans $X \times Y$ et localement finie; observer que pour tout $x \in X$, il y a un voisinage ouvert $U$ de $x$ qui ne rencontre pas une infinité d’ensembles $U'_n$; former alors la suite $(U_n)$ en formant par extractions répétées une suite $(U'_{k_n})$ extraite de $(U'_n)$ et prenant chaque fois convenablement $U_n$ contenu dans $U'_{k_n}$; puis opérer de même sur la suite $(V'_{k_n})$.