Bài tập 22, § 1

Cho $X$ là một không gian đều Hausdorff, cho $Y$ là một tập con đóng của $X$, và cho $f$ là một hàm thực bị chặn, liên tục đều trên $Y$. Chứng minh rằng $f$ có một mở rộng $\overline{f}$ lên $X$ bị chặn và liên tục đều trên $X$. [Ta có thể giả sử rằng $f(Y) \subset [0, 1]$. Với mỗi số dyadic $r = k/2^n \in [0, 1]$, gọi $A(r)$ là tập hợp tất cả các $x \in Y$ sao cho $f(x) \leq r$, và đặt $B(r) = A(r) \cup (X - Y)$. Định nghĩa bằng quy nạp \* (như trong chứng minh của Định lý 1 của § 4, no. 1) \* một tập mở $U(r)$ cho mỗi số dyadic $r \in [0, 1]$ sao cho, bất cứ khi nào $r$ và $r'$ là hai số dyadic và $r < r'$, tồn tại một lân cận $V$ của cấu trúc đều của $X$ sao cho

Sau đó định nghĩa $\overline{f}(x)$ là cận dưới lớn nhất của các số dyadic $r$ sao cho $x \in U(r)$.]