Exercice 23, § 1

Soient $X, Y$ deux espaces complètement réguliers. Montrer que les trois conditions sont équivalentes: $\alpha)$ $X \times Y$ est weierstrassien; $\beta)$ l’application canonique $\beta(X \times Y) \to \beta(X) \times \beta(Y)$ est un homéomorphisme; $\gamma)$ pour toute fonction numérique $f$ bornée et continue dans $X \times Y$ et tout $\varepsilon > 0$, il existe un recouvrement ouvert fini de $X \times Y$ formé d’ensembles de la forme $U_i \times V_i$, où $U_i$ est ouvert dans $X$ et $V_i$ ouvert dans $Y$, tel que l’oscillation de $f$ dans chacun des $U_i \times V_i$ soit $\leq \varepsilon$. (Pour voir que $\alpha$) entraîne $\beta)$, utiliser l’exerc. 22 c); pour voir que $\gamma)$ entraîne $\alpha)$, utiliser l’exerc. 22 d)).