Bài tập 23, § 1

Cho $X, Y$ là hai không gian chính quy hoàn toàn. Bây giờ chứng minh rằng ba điều kiện sau là tương đương: $\alpha)$ $X \times Y$ là Weierstrass; $\beta)$ ánh xạ chính tắc $\beta(X \times Y) \to \beta(X) \times \beta(Y)$ là một đồng phôi; $\gamma)$ với mọi hàm số $f$ bị chặn và liên tục trong $X \times Y$ và mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một phủ mở hữu hạn của $X \times Y$ được tạo thành bởi các tập hợp có dạng $U_i \times V_i$, trong đó $U_i$ là mở trong $X$ và $V_i$ mở trong $Y$, sao cho dao động của $f$ trong mỗi $U_i \times V_i$ là $\leq \varepsilon$. (Để thấy rằng $\alpha$) suy ra $\beta)$, dùng Bài tập 22 c); để thấy rằng $\gamma)$ suy ra $\alpha)$, dùng Bài tập 22 d)).