Exercice 25, § 1

Soient $X$ un espace uniforme séparé et complet, $\mathscr{U}$ sa structure uniforme. a) Soit $h$ une fonction numérique $\geq 0$, continue dans $X$, et soit $V$ l’ensemble ouvert $h^{-1}(0, +\infty)$. On considère sur $V$ la structure uniforme $\mathscr{U}'$, borne supérieure de la structure induite par $\mathscr{U}$ et de la structure uniforme définie par l’écart

Montrer que $V$ est complet pour $\mathscr{U}'$. b) Soit $B$ une partie de $X$, intersection d’une famille $(A_\lambda)$ d’ensembles dont chacun est réunion d’une famille dénombrable d’ensembles fermés dans $X$. Montrer qu’il existe sur $B$ une structure uniforme compatible avec la topologie induite par celle de $X$, et pour laquelle $B$ est complet (utiliser a) et l’exerc. 19 a) de IX, p. 88).