Bài tập 25, § 1

Cho $X$ là một không gian đều tách được và đầy đủ, $\mathscr{U}$ là cấu trúc đều của nó. a) Cho $h$ là một hàm số $\geq 0$, liên tục trên $X$, và cho $V$ là tập mở $h^{-1}(0, +\infty)$. Xét trên $V$ cấu trúc đều $\mathscr{U}'$, là cận trên của cấu trúc cảm sinh bởi $\mathscr{U}$ và của cấu trúc đều được xác định bởi khoảng cách

Bây giờ chứng minh rằng $V$ đầy đủ đối với $\mathscr{U}'$. b) Cho $B$ là một tập con của $X$, giao của một họ $(A_\lambda)$ các tập hợp mà mỗi tập hợp trong đó là hợp của một họ đếm được các tập đóng trong $X$. Bây giờ chứng minh rằng tồn tại trên $B$ một cấu trúc đều tương thích với tôpô cảm sinh bởi tôpô của $X$, và đối với cấu trúc đó $B$ là đầy đủ (sử dụng a) và Bài tập 19 a) của IX, p. 88).