Exercice 6, § 1

a) Soient X un espace uniformisable, R une relation d’équivalence dans X telle que l’application canonique $p : X \to X/R$ soit propre (I, p. 72). Montrer que X/R est uniformisable (cf. exerc. 5).

b) Dans un espace uniformisable X, soit R$\{x, y\}$ la relation $y \in \overline{\{x\}}$. Montrer que R est une relation d’équivalence et que l’espace de Kolmogoroff universel correspondant à X (I, p. 104, exerc. 27) est l’espace quotient X/R. Déduire de a) que X/R est complètement régulier.