Bài tập 6, § 1

a) Cho $X$ là một không gian hoàn toàn chính quy và cho $\mathscr{U}$ là một cấu trúc đều tương thích với tôpô của $X$. Cho $\mathscr{U}^*$ là cấu trúc đều thô nhất trên $X$ làm cho tất cả các ánh xạ từ $X$ vào $[0, 1]$ mà đều liên tục đối với $\mathscr{U}$ cũng đều liên tục. Chứng minh rằng cấu trúc đều $\mathscr{U}^*$ là Hausdorff và tương thích với tôpô của $X$, và rằng $X$ là tiền compact đối với $\mathscr{U}^*$.

b) Cho $K$ là một không gian compact. Chứng minh rằng mọi ánh xạ $f : X \to K$ đều liên tục đối với $\mathscr{U}$ cũng đều liên tục đối với $\mathscr{U}^*$ (chú ý rằng cấu trúc đều duy nhất trên $K$ là cấu trúc thô nhất sao cho mọi ánh xạ liên tục từ $K$ vào khoảng $[0, 1]$ đều liên tục). Suy ra rằng $\mathscr{U}^*$ là cấu trúc đều mịn nhất trong các cấu trúc đều trên $X$ thô hơn $\mathscr{U}$ và đối với chúng $X$ là tiền compact.