Exercice 7, § 1

Sur un espace topologique X, on dit qu’un filtre $\mathscr{F}$ est régulier s’il existe une base de $\mathscr{F}$ formée d’ensembles ouverts et une base de F formée d’ensembles fermés.

a) On dit qu’un espace régulier X est régulièrement clos si, pour tout homéomorphisme f de X sur un sous-espace d’un espace régulier X’, $f(X)$ est fermé dans X’. Montrer que, pour que X soit régulièrement clos, il faut et il suffit que tout filtre régulier sur X ait au moins un point adhérent. Un espace complètement régulier et régulièrement clos est compact.

b) On dit qu’un espace régulier X est infrarégulier (et que sa topologie $\mathscr{T}$ est infrarégulière) si toute topologie sur X, régulière et moins fine que $\mathscr{T}$, est nécessairement identique à $\mathscr{T}$. Montrer que, pour qu’un espace régulier X soit infrarégulier, il faut et il suffit que tout filtre régulier sur X, ayant au plus un point adhérent, soit convergent. Il revient au même de dire que X est régulièrement clos et que toute base de filtre sur X, ayant un seul point adhérent, est convergente vers ce point.