Bài tập 7, § 1

Cho $X$ là một không gian hoàn toàn chính quy. Nếu $\mathscr{U}_0$ ký hiệu cho quan hệ đều phổ quát trên $X$ (Bài tập 5), thì $\mathscr{U}_0^*$ (Bài tập 6) là quan hệ đều thô nhất trên $X$ sao cho mọi ánh xạ liên tục từ $X$ vào $[0, 1]$ đều là ánh xạ đều liên tục. Gọi $\beta X$ là không gian compact thu được bằng cách hoàn thành $X$ đối với quan hệ đều $U_0^*$. $\beta X$ được gọi là compact hóa Stone-Čech của $X$.

a) Chứng minh rằng mọi ánh xạ liên tục từ $X$ vào một không gian compact $K$ có thể được mở rộng thành một ánh xạ liên tục từ $\beta X$ vào $K$ (xem Lý thuyết tập hợp, Chương IV, § 3).

b) Cho $f$ là một đồng phôi của $X$ lên một tập con trù mật $X'$ của một không gian compact $K$, và cho $\bar{f}$ là ánh xạ liên tục $\beta X \to K$ mở rộng $f$. Chứng minh rằng $\bar{f}(\beta X - X) = K - X'$. [Giả sử rằng tồn tại một điểm $a \in \beta X - X$ sao cho $\bar{f}(a) = f(b)$, trong đó $b \in X$; xét một ánh xạ liên tục $g : \beta X \to [0, 1]$ sao cho $g(a) = 1$ và $g(b) = 0$, và gọi $P$ là tập hợp tất cả các $x \in \beta X$ sao cho $g(x) \geq 1/2$. Có một ánh xạ liên tục $h : K \to [0, 1]$ sao cho $h(f(b)) = 0$ và $h(f(x)) = 1$ với mọi $x \in P$; chứng minh rằng quan hệ $h(f(a)) = 0$ mâu thuẫn với sự kiện rằng $a$ thuộc bao đóng của $P$ trong $\beta X$.]