Exercice 8, § 1

Soient $\omega_0 = \omega, \omega_1$ les deux premiers ordinaux infinis sans prédécesseurs (E, III, p. 77, exerc. 14). On munit l’intervalle J = $[0, \omega_1)$ de la topologie $\mathscr{T}_-(J)$ et l’intervalle I = $[0, \omega_0)$ de la topologie $\mathscr{T}_-(I)$, obtenant ainsi des espaces compacts (I, p. 105, exerc. 2). Dans l’espace compact I $\times$ J, soit P le sous-espace ouvert (localement compact et non compact) complémentaire du point $(\omega_0, \omega_1)$ (« planche de Tychonoff »).

a) Dans P, pour tout entier $n \geqslant 0$, on note $I_n$ l’ensemble $\{n, \omega_0\} \times \{\omega_1\}$ et pour tout ordinal $\alpha < \omega_1$, on note $J_\alpha$ l’ensemble $\{\omega_0\} \times \{\alpha, \omega_1\}$. Montrer que si un ensemble ouvert G dans P contient $I_n$, il existe un $\alpha < \omega_1$ tel que $J_\alpha \subset \overline{G}$, et que si G contient $J_\alpha$, il existe un entier $n$ tel que $I_n \subset \overline{G}$ (Cf. I p. 106, exerc. 12b)); en particulier P n’est pas normal (IX, p. 41). Si G contient à la fois un $I_n$ et un $J_\alpha$, son complémentaire dans P est compact.

b) Dans l’espace produit $\mathbf{N} \times P$, on considère la relation d’équivalence R dont les classes d’équivalence sont: 1° les ensembles $\{(k, (n, \alpha))\}$ réduits à un point pour $n < \omega_0, \alpha < \omega_1$ et les ensembles $\{(0, (\omega_0, \alpha))\}$ réduits à un point pour $\alpha < \omega_1$; 2° les ensembles

de deux points, pour $n < \omega_0$; 3° les ensembles $\{(2k + 1, (\omega_0, \alpha)), (2k + 2, (\omega_0, \alpha))\}$ de deux points, pour $\alpha < \omega_1$. Soit Q l’espace quotient $(\mathbf{N} \times P)/R$. On note $P_k$ l’image de $\{k\} \times P$ dans Q, $I_{n,k}$ et $J_{\alpha,k}$ les images de $\{k\} \times I_n$ et $\{k\} \times J_\alpha$ dans Q; on a par définition $I_{n,2k} = I_{n,2k+1}$, et $J_{\alpha,2k+1} = J_{\alpha,2k+2}$. On considère enfin l’ensemble S somme de Q et d’un élément $\xi$; on définit sur S une topologie séparée en prenant pour système fondamental de voisinages d’un point de Q l’ensemble de ses voisinages dans Q, et pour système fondamental de voisinages de $\xi$ l’ensemble des complémentaires dans S des ensembles $Q_n = \bigcup_{1 \leq k \leq n} P_k$ (« escalier de Tychnoff »). Montrer que S est un espace régulier non compact.

c) Soit $(G_i)_{0 \leq i \leq 2N}$ une suite finie croissante de parties ouvertes de S telle que, pour $0 \leq i \leq 2N - 1$, on ait $\overline{G}_i \subset G_{i+1}$. Montrer que si $G_0 \supset P_{2N}$, $S - G_{2N}$ est compact (utiliser a)).

d) Montrer que S est un espace infrarégulier (exerc. 7), donc non complètement régulier puisqu’il est non compact. (Appliquer le critère de l’exerc. 7 en utilisant c) pour montrer qu’un filtre régulier $\mathscr{F}$ non convergent sur S a au moins deux points adhérents; on distinguera deux cas suivant que $\xi$ est ou non adhérent à $\mathscr{F}$.)