Bài tập 8, § 1

Cho $X$ là một không gian chính quy hoàn toàn và cho $\beta X$ là compact hóa Stone-Čech của nó.

a) Một lọc $\mathscr{F}$ trên $X$ được gọi là chính quy hoàn toàn nếu $\mathscr{F}$ có một cơ sở $\mathscr{B}$ gồm các tập mở sao cho với mỗi tập $A \in \mathscr{B}$ tồn tại một tập $B \in \mathscr{B}$ được chứa trong $A$, và một ánh xạ liên tục $f : X \to [0, 1]$ bằng 0 trên $B$ và bằng 1 trên $\overline{C}A$. Một lọc chính quy hoàn toàn được gọi là cực đại nếu không tồn tại lọc chính quy hoàn toàn nào mịn hơn nó một cách thực sự. Chứng minh rằng, nếu $\mathscr{F}$ là một lọc chính quy hoàn toàn bất kỳ trên $E$, thì có một lọc chính quy hoàn toàn cực đại mịn hơn $\mathscr{F}$ (dùng bổ đề Zorn).

b) Một lọc chính quy hoàn toàn $\mathscr{F}$ là cực đại khi và chỉ khi, với mỗi cặp tập mở $A, B$ của $X$ sao cho $B \subset A$ và sao cho có một ánh xạ liên tục từ $X$ vào $[0, 1]$ bằng 0 trên $B$ và bằng 1 trên $\overline{C}A$, ta có hoặc là $A \in \mathscr{F}$, hoặc là nếu $A \notin \mathscr{F}$ thì có một tập của $\mathscr{F}$ không gặp $B$ (nếu tất cả các tập của $\mathscr{F}$ đều gặp $B$, xét lọc sinh bởi các tập của $\mathscr{F}$ và các tập $\bar{f}^{-1}([0, a[),$ trong đó $a \in ]0, 1[$).

c) Chứng minh rằng mọi lọc chính quy hoàn toàn cực đại $\mathscr{F}$ là một lọc Cauchy trên $X$ đối với cấu trúc đều cảm sinh bởi cấu trúc đều của $\beta X$ [chứng minh rằng mỗi ánh xạ liên tục $f : X \to [0, 1]$ có một giới hạn đối với $\mathscr{F}$, bằng cách lập luận phản chứng và sử dụng b)].

d) Hai lọc chính quy hoàn toàn cực đại phân biệt $\mathscr{F}, \mathscr{F}'$ không thể hội tụ đến cùng một điểm của $\beta X$ [nhận xét rằng theo b) tồn tại một tập mở $A \in \mathscr{F}$ và một tập mở $A' \in \mathscr{F}'$ sao cho $A \cap A' = \varnothing$; sau đó lập luận bằng phản chứng, sử dụng tiên đề $(O_{IV})$].

e) Vết trên $X$ của lọc lân cận của bất kỳ điểm nào $x_0 \in \beta X$ là một lọc chính quy hoàn toàn cực đại $\mathscr{B}$ (lập luận bằng phản chứng, sử dụng các định nghĩa của một lọc chính quy hoàn toàn và của lọc lân cận của một điểm trong $\beta X$.