Exercice 10, § 2

a) Soient X un espace compact métrique, d la distance sur X. Montrer que, si f est une application de X dans X telle que, pour tout couple $x, y$ de points de X, on ait $d(f(x), f(y)) \geq d(x, y)$, f est une isométrie de X sur X (soient a et b deux points quelconques de X; on pose $f^n = f^{n-1} \circ f$, $a_n = f^n(a)$, $b_n = f^n(b)$; montrer que, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un indice k tel que $d(a, a_k) \leq \varepsilon$ et $d(b, b_k) \leq \varepsilon$, en extrayant de $(a_n)$ et $(b_n)$ deux suites convenables; en déduire que $d(a_1, b_1) = d(a, b)$ et que $f(X)$ est partout dense dans X). b) Soient X un espace compact non métrisable, V un entourage de la structure uniforme de X et soit f un homéomorphisme de X sur lui-même. Montrer qu’il existe une suite décroissante $(U_n)$ d’entourages de la structure uniforme de X telle que, pour tout couple $(x, y) \in U_n$, on ait $(f^n(x), f^n(y)) \in V$ et $(f^{-n}(x), f^{-n}(y)) \in V$. Montrer qu’il existe dans $X \times X$ un point $(x, y)$ n’appartenant pas à la diagonale et qui soit adhérent à chacun des $U_n$; on a donc $(f^n(x), f^n(y)) \in V$ pour tout $n \in \mathbf{Z}$.